พื้นที่ผิวและปริมาตร

1. พิระมิด(Pyramid) คือ ทรงสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลม ซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน และทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น

รุปภาพประกอบจาก http://www.geocities.com/sivadejmath/page7.htm

**************************************************************************

พื้นที่ผิวเอียง = (1/2) x เส้นรอบฐาน x สูงเอียง

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวเอียง + พื้นที่ฐาน

ปริมาตร = (1/3) x พื้นที่ฐาน x สูง

***************************************************************************

2. ปริซึม (PRISM) เป็น รูปทรงที่มีหน้าตัด(ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของปริซึม

รุปภาพประกอบจาก http://www.lks.ac.th/teacher_jeed/prism.html

รุปภาพประกอบจาก

http://www.sema.go.th/files/Content/Mat/k3/0003/PRW_MATHEMATIC/mathm.3%20...1.htm

แบบฝึกหัด

คำ คำสั่ง จงเขียนเครื่องหมาย / หน้าข้อความที่ถูกต้อง เขียนเครื่องหมาย x หน้าข้อความที่ผิด

.....1. ผิวข้างของพีระมิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเสมอ

..........2. ปริมาตรของปริซึมเป็นสามเท่าของพีระมิดที่มีฐานและความสูงเท่ากัน

.......3. สันทุกเส้นของพีระมิดตรงย่อมยาวเท่ากัน

........4. สูงเอียงทุกเส้นของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมมุมฉากยาวเท่ากัน

......5. พื้นที่ผิวของพีระมิด n เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีค่าเป็น (n+1) เท่า ของพื้นที่ผิวข้าง

......6. สูงเอียงของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับผลรวมของกำลังสองของ

ความยาวด้านฐานกับกำลังสองของสูงตรง

.....7. ถ้าตัดรูปทรงพีระมิดตามแนวขนานกับฐาน ยอดพีระมิดที่ถูกตัดออกจะมี

ฐานเป็นรูปเหลี่ยมคล้ายกับฐานเดิม

.......8. ความยาวของสันย่อมมีค่าน้อยกว่าสูงตรงและสูงเอียงเสมอ

.......9. ถ้านำพีระมิดกลวงไปตักน้ำตาลใส่ในปริซึมที่มีฐานและความสูงเท่ากัน

จะได้ระดับน้ำตาลเป็น 1 ใน 3 ของความสูงปริซึม

.......10. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวฐานด้านละ a หน่วย ความสูง b หน่วย

ดังนั้น สูงเอียงเท่ากับ a2 + b2

แบบทดสอบครั้งที่ 1

เรื่อง ปริมาตรของพีระมิด

คำสั่ง ให้นักเรียนทำเครื่องหมาย x ลงบนตัวเลือกของแต่ละข้อที่ถูกต้องที่สุด

1. ถ้าพีระมิดและปริซึมมีฐานอย่างเดียวกันและสูงเท่ากัน คำกล่าวใดถูกต้อง

ก. ปริมาตรของพีระมิดเท่ากับ 1/2 ของปริมาตรของปริซึม

ข. ปริมาตรของพีระมิดเท่ากับ 1/3 ของปริมาตรของปริซึม

ค. ปริมาตรของพีระมิดเท่ากับ 1/4 ของปริมาตรของปริซึม

ง. ปริมาตรของพีระมิดเท่ากับ 1/5 ของปริมาตรของปริซึม

+++++++++++++++++++++++

2. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีความยาวของฐานด้านละ 15 เซนติเมตร ความยาวของ

สูงตรงเป็น 45 เซนติเมตร จะมีปริมาตรเท่าใด

ก. 3,225 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข. 3,325 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ค. 3,357 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ง. 3,375 ลูกบาศก์เซนติเมตร

++++++++++++++++++++++

3. จงหาปริมาตรของพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 10 เมตร สูงตรง

ยาว 18 เมตร

ก. 330 ลูกบาศก์เมตร

ข. 550 ลูกบาศก์เมตร

ค. 580 ลูกบาศก์เมตร

ง. 600 ลูกบาศก์เมตร

4. พีระมิดแท่งหนึ่งมีพื้นที่ฐาน 807 ตารางเมตร สูง 10 เมตร จะมีปริมาตรเท่าใด

ก. 2,490 ลูกบาศก์เมตร

ข. 2,860 ลูกบาศก์เมตร

ค. 2,690 ลูกบาศก์เมตร

ง. 2,960 ลูกบาศก์เมตร

++++++++++++++++++++++++++++++

5. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 4 เซนติเมตร สูง 15 เซนติเมตร มีปริมาตร

เท่าใด

ก. 80 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข. 106 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ค. 120 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ง. 180 ลูกบาศก์เซนติเมตร

+++++++++++++++++++++++++

6. พีระมิดฐานสามเหลี่ยมมีพื้นที่ฐาน 20 ตารางเซนติเมตร สูง 18 เซนติเมตร มีปริมาตร

เท่าใด

ก. 80 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข. 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ค. 120 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ง. 160 ลูกบาศก์เซนติเมตร

+++++++++++++++++++++++

7. พีระมิดแท่งหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส วัดความยาวรอบฐานยาว 880 เมตร

พีระมิดสูง 162 เมตร ปริมาตรของพีระมิดนี้เป็นเท่าใด

ก. 2,602,400 ลูกบาศก์เมตร

ข. 2,613,600 ลูกบาศก์เมตร

ค. 2,723,200 ลูกบาศก์เมตร

ง. 2,723,400 ลูกบาศก์เมตร

++++++++++++++++++++++++

8. พีระมิดตรงฐานสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากเท่ากับ 4 เซนติเมตร และ 6 เซนติเมตร ถ้าพีระมิดตรงสูง 10 เซนติเมตร พีระมิดจะมีปริมาตรกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร

ก. 40 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข. 80 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ค. 120 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ง. 240 ลูกบาศก์เซนติเมตร

9. จงหาความสูงของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวฐานยาวด้านละ 10 นิ้ว

และมีปริมาตร 300 ลูกบาศก์นิ้ว

ก. 9 นิ้ว

ข. 7 นิ้ว

ค. 5 นิ้ว

ง. 3 นิ้ว

++++++++++++++++++

10. ถ้าขี้ผึ้ง 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร หนัก 100 กรัม จะต้องใช้ขี้ผึ้งหนักเท่าใดในการหล่อ

พีระมิด ฐานยาว 5 เซนติเมตร กว้าง 4 เซนติเมตร สูง 9 เซนติเมตร

ก. 6.6 กิโลกรัม

ข. 6.0 กิโลกรัม

ค. 6.5 กิโลกรัม

ง. 5.6 กิโลกรัม

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

บัตรเนื้อหา ให้นักเรียนศึกษาความรู้จากบัตรเนื้อหา

ก่อนทำบัตรกิจกรรม

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได้

ทรงกระบอกเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติ ซึ่งมีทั้งทรงกระบอกตรงและทรงกระบอกเอียง
พิจารณารูป ต่อไปนี

ในระดับชั้น ม.3 นักเรียนจะได้เรียนรู้เฉพาะทรงกระบอกตรงเท่านั้น และจะใช้คำว่า

“ ทรงกระบอก ” แทนทรงกระบอกตรง

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่ในระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้รอยตัดเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเรียกว่า “ ทรงกระบอก ”

ทรงกระบอกตรง มีความยาวของแกนเท่ากับส่วนสูง

ส่วน ทรงกระบอกเอียง มีแกนของทรงกระบอก ยาวกว่าส่วนสูงของทรงกระบอก

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

จากรูป เป็นภาพคลี่ของทรงกระบอก จะมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวเท่ากับความยาวของเส้นรอบรูปที่เป็นฐานและมีความกว้างเท่ากับความสูงของทรงกระบอก พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เรียกว่า

พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก
ผลบวกของพื้นที่ผิวข้างกับพื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก

เรียกว่า “ พื้นที่ผิวของทรงกระบอก"

ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง

จากรูป ถ้าทรงกระบอกมีส่วนสูงยาว h และฐานมีรัศมียาว r จะได้

พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = ความยาวเส้นรอบวง × สูงพื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2πr × h
= 2πrh

พื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก = 2πr²

ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2πrh + 2πr²
เมื่อ r แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก และh แทนความสูงของทรงกระบอก

**********************************

บัตรกิจกรรม

ศูนย์ที่ 1 การประกอบรูปทรงกระบอก

กระป๋องออมสินแสนสวย

จงเขียน / หน้าข้อความที่ถูกต้อง

และเขียนเครื่องหมาย x หน้าข้อความที่ผิด

......... 1) ถ้าตัดทรงกระบอกในแนวนอนกับฐาน ส่วนที่ตัดออกยังคงเป็นรูปทรงกระบอก

.......... 2) หน้าตัดทั้งสองหน้าของทรงกระบอกต้องเป็นวงกลม แต่อาจมีขนาดต่างกันได้

........ 3) ท่อน้ำประปามีลักษณะเหมือนทรงกระบอกเล็กสวมอยู่ในทรงกระบอกใหญ่

โดยใช้จุดศูนย์กลางร่วมกัน

........... 4) ลำไม้ไผ่ ที่ใช้ใส่ข้าวหลาม คือ วัสดุธรรมชาติที่เป็นทรงกระบอก

.......... 5) พื้นที่หน้าตัดของทรงกระบอกจะเปลี่ยนไปตามความสูงของทรงกระบอก

นั้นเปลี่ยนไป

*****************************************

บัตร กิจกรรม

ศูนย์ที่ 2 ส่วนประกอบต่างๆของทรงกระบอก

คำชี้แจง จากรูปต่อไปนี้ จงหาพื้นที่ฐานทั้งสองด้านของทรงกระบอก พื้นที่ผิวข้าง และพื้นที่ผิวของทรงกระบอก

ข้อ 1.

1. พื้นที่ฐานทั้งสองด้านของทรงกระบอก .....................ตารางหน่วย

2. พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก .........................ตารางหน่วย

3. พื้นที่ผิวของทรงกระบอก ......................... ตารางหน่วย

ข้อ 2

1. พื้นที่ฐานทั้งสองด้านของทรงกระบอก ......................... ตารางหน่วย

2. พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก ......................... ตารางหน่วย

3. พื้นที่ผิวของทรงกระบอก ........................ ตารางหน่วย
***********************************************************************

สมการกำลังสอง

สมการกำลังสอง   

---

              สมการกำลังสอง   หมายถึง  สมการที่เขียนในรูป   ax² + bx + c = 0   เมื่อ  a, b, c  เป็นค่าคงตัว  และ  a  ไม่เท่ากับ  0

บทนิยามของสมการกำลังสอง  

---

                  สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น ax² + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ทำได้โดยอาศัยการแยกตัวประกอบ หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และบวกกันได้ b ตัวอย่าง         จงหาคำตอบของสมการ   x² – 32x + 31              =          0

                                                   x² – 32x + 31              =          0

                                                   ( x²– 31 ) ( x – 1 )       =          0

        ดังนั้น      x – 31       =    0             หรือ         x – 1     =    0

                                 x       =    31            หรือ               x    =    1

            คำตอบของสมการคือ  31 และ 1

ตัวอย่าง           จงหาคำตอบของสมการ              x²+ 5x + 6          =      0

                                         x² + 5x + 6                =       0

                                         ( x + 2 ) ( x + 3 )        =       0

                ดังนั้น      x + 2 = 0  หรือ   x + 3 = 0

                                x = -2  หรือ  x = -3

                คำตอบของสมการคือ  -2 และ -3

---

   

                  ในการแก้สมการบางครั้ง ถ้านำค่าคงตัวมาคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการ จะช่วยให้การแยกตัวประกอบเพื่อหาคำตอบของสมการทำได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง                จงแก้สมการ     -6x² + 12x – 6      =     0

                     -6x² + 12x – 6      =   0

นำ -6 มาหารทั้งสองข้างของสมการ จะได้

                x²– 2x + 1             =    0

            ( x – 1 ) ( x – 1 )       =   0

ดังนั้น   x – 1                       =    0

                    x                          =    0

            คำตอบของสมการคือ 1

 ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ      1.5x²       =    7.7x - 1

           1.5x² -  7.7x + 1      =            0

                นำ 10 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ  จะได้

                                 15x² – 77x + 10           =    0

                                ( 15x – 2 ) ( x - 5 )         =    0

                ดังนั้น  15x – 2 = 0 หรือ  x – 5 =  0

                                x =  เศษ 2 ส่วน 15 หรือ 5

                คำตอบของสมการคือ  เศษ 2 ส่วน 15 และ 5

---

   

                   การหาคำตอบของสมการกำลังสองในรูป  ax² + bx + c = 0 เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ในกรณี c มีค่าเป็น 0 ใช้สมบัติการแจกแจง

ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ         15x² – 10x          =      0

                                   15x² – 10x           =     0

                                                           5x² ( 3x – 2 )        =    0

               ดังนั้น   5x  =  0  หรือ  3x  – 2 =  0

                x = 0  หรือ  x = เศษ 2 ส่วน 3

        คำตอบของสมการคือ  0 และ เศษ 2 ส่วน 3

---

     

                  การหาคำตอบของสมการกำลังสอง ในรูป ax + bx + c = 0 เมื่อ a , b ,c เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 ในกรณีที่ c มีค่าเป็น 0 การแก้สมการกำลังสองที่ได้รูปทั่วไปเป็น x² = c  เมื่อ c > 0   x² – c = 0

ตัวอย่าง                 จงแก้สมการ    x²  – 169                      =             0

                                                    x² -  13²                                 =             0

                                                  ( x – 13 ) ( x + 13 )         =           0

                    ดังนั้น      x – 13 = 0  หรือ x + 13 = 0

                                    x = 13 หรือ x = -13

                          คำตอบของสมการคือ  13 และ -13

 ตัวอย่าง                   จงแก้สมการ  4x²  =   16

                                             4x²  - 16                   =         0

                                              ( 2x )² – 4²              =         0

                                            ( 2x – 4 ) ( 2x + 4 )   =         0  

                    ดังนั้น    2x  – 4  =  0   หรือ   2x + 4   =  0

                   x = เศษ 4 ส่วน 2   หรือ  x =   - เศษ 4 ส่วน 2

                                x = 2 หรือ x = -2

                คำตอบของสมการคือ  2 และ -2

---

      

                   การแก้สมการกำลังสองที่มีรูปทั่วไปเป็น     x² = c เมื่อ  c > 0

ตัวอย่าง                   จงแก้สมการ    ( 2x – 3 )²                           =                16

                                          ( 2x  - 3 )²  - 16               =                0

                   ( 2x  - 3 )²  - 4²                   =               0

                                     ( 2x – 3 – 4 ) ( 2x – 3 + 4 )  =               0

                                     ( 2x + 1 ) ( 2x– 7 )               =                0

       ดังนั้น    2x + 1 = 0  หรือ  2x – 7   = 0

                2x  = -1  หรือ   2x   =  7

                x = - เศษ 1 ส่วน 2  หรือ  x = เศษ 7 ส่วน 2

คำตอบของสมการคือ  - เศษ 1 ส่วน 2  และ เศษ 7 ส่วน 2

     

การแก้สมการกำลังสอง
1.โดยวิธีแยกตัวประกอบ
สมบัติที่ใช้ในการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง
( x - 3 ) ( x + 4 ) = 0
ดังนั้น x - 3 = 0 หรือ
x = 3 หรือ
x = 3 , -4
ตัวอย่าง
( 2x - 5 ) ( 3x - 6 ) = 0
ดังนั้น 2x - 5 = 0 หรือ 3x - 6 = 0
x = เศษ 5 ส่วน 2 หรือ x = เศษ 6 ส่วน 3
x = 2
x = เศษ 5 ส่วน 2 , 2

---

2.โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
การแยกตัวประกอบของพหุนาม ax2 + bx + c เมื่อ a,b,c เป็นค่าคงตัวและ a ไม่เท่ากับ 0 โดยจัดพหุนามให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์
จาก การแก้สมการ เราใช้วิธีทำทางขวามือของสมการให้เท่ากับ 0 และทางซ้ายมือของสมการ เราพยายามทำให้อยู่ในรูปผลคูณของตัวประกอบกำลังหนึ่ง โดยวิธีแยกตัวประกอบ แต่บางครั้งการแยกตัวประกอบทางซ้ายมือของพหุนาม คำตอบจะอยู่ในรูปที่สลับซับซ้อนมาก จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ มาช่วยในการหาคำตอบ

ตัวอย่าง
จงแก้สมการ x2 + 2x + 3 = 0
x2 + 2x + 3 = 0
x2+ 2x + 12 - 12 + 3 = 0
( x + 1 )2 - 1 + 3 = 0
( x + 1 )2 + 2 = 0
เนื่องจาก ( x + 1 )2 > 0 เสมอ ดังนั้น ( x + 1 )2 + 2 > 0 เสมอ
แสดงว่าไม่มีค่า x ที่ทำให้ ( x + 1 )2 + 2 = 0
สรุป ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบของสมการ
หลักในการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
1. จัดสมการที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0
2 .กรณีที่ a ไม่เท่ากับ 1 ให้นำ a หารตลอด
3. จัดสมการทางซ้ายมือของเครื่องหมายเท่ากับโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
4. จัดสมการทางซ้ายมือต่อจาก ข้อ 3 โดยใช้ผลต่างของกำลังสอง แล้วแยกตัวประกอบ
5. ให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับ 0 แล้วหาค่าของตัวแปร
3.โดยใช้สูตร
- ถ้า b2 - 4ac > 0 คำตอบของสมการจะมี 2 คำตอบ
- ถ้า b2 - 4ac > 0 คำตอบของสมการจะมีเพียงคำตอบเดียว
- ถ้า b2- 4ac < 0 คำตอบของสมการดังกล่าวจะไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

      
แบบฝึกหัด สมการกำลังสอง  

---

         1.  ( x + 1 ) ( x + 2 )                =  0

         2.  ( x -3 ) ( x – 4 )                  =  0

         3.  ( 2x + 1 ) ( 3x – 2 )            =  0

         4.  ( 5x – 1 ) ( 6x – 4 )             =   0

         5.  x² + 4x + 3                         =   0

         6.   x² + 7x + 12                      =   0

         7.   x² – 4x + 3                         =  0

         8.   x² – 7x +  6                        =  0

         9.   x² + 2x – 3                         =  0

         10.  x² + x – 6                          =  0

         11.  x² – 2x – 3                        =  0

         12.  x²– 5x – 6                         =  0

         13.  2x² + x – 15                      =  0

         14.  6x²– 11x – 10                   =  0

         15.  -25x² + 10x + 15              =   0

          16.  ( x – 6 )² – 4                     =  0

          17.  ( 3x + 15 )² – 25               =  0